导数

从平均变化率到瞬时变化率

当输入变化 $h$ 时，函数的平均变化率是：

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

让 $h$ 趋近于零。如果下面的极限存在，就称它为函数在 $x$ 处的导数：

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

一个例子

对于 $f(x)=x^2$，展开并约去 $h$，得到 $2x+h$。因此 $f'(x)=2x$。

在 $x=3$ 处，切线斜率为 $6$。

边界处需要单独检查

分段函数在分界点不一定可导。例如绝对值函数在 $0$ 处左右斜率不同，所以不可导。